방정식에 대해서

이번엔 방정식에 대해서 다뤄 볼께요. 흔히 방정식은 아래와 같은 식으로 쓸 수 있습니다. 

A + B = C + D

이것을 무게를 잴때 사용하는 천칭으로 생각해볼께요.
좌우의 무게가 같다면 천칭은 평행을 유지할 것이고 그렇지 않다면 무거운 쪽으로 기울어지겠죠.
방정식은 천칭이 평행으로 유지되는 상태를 수식으로 쓴것에 불과해요.
위의 식을 숫자를 이용해서 써볼께요.

3 + 5 = 2 + 6

좌우의 값이 같죠? 그렇다면 천칭은 평행을 유지할 거에요.
이렇게 평행을 유지할때(좌우의 값이 같을때) 좌우에 똑같은 숫자를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 평행 상태가 변하지 않겠죠?(좌우의 값이 항상 같겠죠?)

이러한 성질을 이용해서 우리가 모르는 숫자를 찾아내는것. 그것을 방정식이라고 해요.
우리가 모르는 숫자를 H라고 할때

4 + H = 30

위의 식을 풀어서 H의 값을 구해볼께요.

좌우에 같은 숫자를 더하거나 빼도 같아지니까 아래와 같이 풀 수 있을거에요.

4 - 4 + H = 30 - 4

H = 26

H의 값은 26이네요. 쉽죠? 이것을 좀 더 간단하게 생각해 볼게요.
좌변에 있는 수를 우변으로 옮길때는 부호를 바꿔주면 되요.

4 + H = 30

H = 30 - 4

H = 26

이렇게요.
만약에 모르는 수가 아래와 같이 두개 이상일때는 어떻게 될까요?

(100 X A) + (50 X B) = 300

이렇게 숫자와 문자의 곱하기를 표현한 식에서는 곱하기 부호를 생략할 수 있어요.

100A + 50B = 300

이렇게요.
이런 경우엔 답이 여러가지가 나올수가 있어요.

A = 0, B = 6

A = 3, B = 0

A = 2, B = 2

모두 다 맞는 답입니다. 
또 어떤 수를 넣어도 항상 맞는 식이 될수도 있어요.

4A = A + A+ A + A

5(A + B) = 5A + 5B

위의 식에는 어떤 숫자를 넣어도 항상 좌우가 같죠. 이런식을 항등식이라고 해요.

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About the Equation

This time, let talking about the equation. In general, the equation can be written in the following equation.

A + B = C + D

Let us think like a pair of scales that be used to measure the weight.
If the weight of the left and right are the same, a pair of scales will maintain the parallel. And if not same, it will be inclined to the heavy side.
Equation is only to write by formula that state maintained the parallel.
Let write by numeral formula that above.

3 + 1 = 2 + 2

The value of the left and right are the same. So, a pair of scale is the balance is to remain parallel.
When maintain the parallel(value of the left and right are equal), does not change even if divide the same numeral to the left and right. Subtraction, addition, multiplication is same too(The value of the left and right is always the same).

We can then use such a property, will find a number that we do not know. And We called it, 'The equation'.
Suppose a number 'H' that we do not know.

4 - H = 30

Let look for the value of H by solving the above equation.

Case of The equation, is same that subtract same number in the left and right.
So, can be solved as follows.

4 - 4 - H = 30 - 4

H = 26

The value of H is 26. Obvious, is not it? Let's think a little more easily this.
If you move number to the right on the left, change the sign.

4 - H = 30

H = 30 - 4

H = 26

Like this. 
If you don't know two or more of the following?

(100 X A) + (50 X B) = 300 

Like this, on the expression representing the multiplication of numbers and letters, you can omit the multiplication sign. 

100A +50 B = 300 

Thus.

If this is the case, you can answer a variety of.

A = 0, B = 6 

A = 3, B = 0 

A = 2, B = 2 

It is All right answer. 

Also, even if put any number, there is also a case where it is always correct equation. 

4A = A + A + A + A 

5 (A + B) = 5A +5 B 

On the Expression of the above, Even if put any number, there is same always left and right. We called it 'Identical equation'

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方程式

今回は、方程式の取り扱いしてみよう。一般的に、方程式は次のような式で書くことができます。

A + B = C + D

これを重量を測定する際に使用する天秤と考えてみよう。
左右の重量が同じ場合、天秤座は平行を維持することになるでしょう。そうでなければ、重い側に傾いようになります。
方程式は、スケールが平行に維持される状態を数式で書いたものに過ぎません。
上記の意識を数字で書いてみよう。

3 + 1 = 2 + 2

左右の値は同じです。これにより、天秤は平行を維持すると思うよ。
このように平行を維持すると（左右の値が等しいとき）の左右に同じ数字を加算、減算、乗算、または分割しても平行の状態が変わりません。 （左右の値が常に同じです。）

このような性質を利用して、我々が知らない数字を見つけることができます。それを方程式といいます。
私たちが知らない数字をHとします。

4 - H = 30

上記の式を解いてHの値を探してみよう。

左右に同じ数字を足したり抜いても左右の値は同じです。だから、次のように解決することができるんです。

4 - 4 - H = 30 - 4

H = 26

Hの値は26ですね。簡単ですね？これをもう少し簡単に考えてみましょう。
左の数字を右に移動すると、符号を変えてくれれば良いです。

4 - H = 30

H = 30 - 4


H = 26

このようになります。
もしわからないことが、次の2つ以上の場合はどうなるでしょう？

（100 X A）+（50 X B）=300

このように、数字と文字の乗算を表現した式は乗算記号を省略することができます。

100A+50 B=300

このようになります。
このような場合には、正解が様々なことができます。

A=0、B=6

A=3、B=0

A=2、B=2

すべて正解です。
また、どのようなものを入れても、常にふさわしい食事される場合もあります。

4A= A+ A+ A+ A

5（A+ B）=5A+5 B


上記の表現はどのようなことを入れても、常に左右があります。これらの式を恒等式といいます。

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数の法則

生きていく間の数学はすべての分野で必要とされるほど重要です。
自分の職業に応じて、次の大きな影響を与えることができます。

特に、ゲームの開発をする際に、数学は非常に重要なことです。

ゲームデザイン、プログラム、グラフィックなど、ゲーム開発のすべての分野に渡って数学を必要としない部分がありません。

すべての仕事をするときは、それについて知っているのと知らないのは大きな違いがあると思います。
知識がない状態であるといっても繰り返されると、最終的には、その原理と方法を知ることになるが、既に知って始める人よりも長い時間がかかります。


だから、ゲームの開発をしたい方のために、数学の基本的な理論を再整理するために文章を書こうとします。

ゲーム開発者でなくても、ゲーム開発に必要な知識を学び、活用することは、論理的思考や計算能力を向上させデザインセンス、心理学、人と人との間の利害関係の向上など多くの部分で助けになると思います。

実際に簡単なゲームのいずれかを作成することも、上記のすべての部分とそれ以外の多くの知識を必要とします。

これにより、最初に数の基本法則について振り返ってみよう。

すべての科学そして数学の基本は当然だと思っていることを疑うから出発して、それを再一般化させることによ。 

簡単に考えてみましょう。 3 + 2と2 + 2は同じでしょうか？ 

当然です。 

加算すると、順序が重要ではないですね。これを交換法則といいます。 

このように当たり前の数学の法則をいくつか書いてみると、 

偶数+偶数=偶数 

奇数+奇数=偶数 

偶数+奇数=奇数 

奇数+偶数=奇数 

こんなものでしょう。 

同じ数を加算し、無条件に偶数が出て、他の数を加算し、無条件に奇数が出てくる。 

後でこれを証明いたします。

乗算を見てみよう。 

5 + 5 + 5 = 15

5という数字を三回プラスしました。上記の計算式を乗算を利用して書いてみましょう。

5 X 3=15

このように使用することができますね。

すなわち、5という数字を三回プラスするという意味です。

5を何度プラスするかによって結果が異なります。

もしそうなら、何度をプラスするという概念を数字なしの文字を使用して書くとどうなるでしょう？

5 X A=？

5という数字をA回足すと？です。

この概念は、すべての数学で使用されるため、必ず理解してください。

Aの代わりに他の文字を使っても構いません。しかし、一般的によく使用される文字があります。一種の暗黙の約束のようなものですよね。 

t（Time）、r（Radius）、w（Width）、h（Height）、n（Number）などがある。 

このようなこと "台数"と言います。 

私たちが実生活で使用する数字をみましょう。 

1,2,3,4,5,6,7 ...... （延々と続けていく） 

この数字を「自然数」または「加算することができ」といいます。 

これを「台数」を利用して書いてみましょう。 

N = N +1 

このように書くことができますね 

任意の数Nは、Nプラス1という意味です。数Nは、常に自分より1大きい数という意味ですね。 

自然数の性質は次のとおりだと思う。

1. すべての自然数Aは、次のことがA+1が存在する。
2. すべての自然数Aは、その前にいくつかのA - 1が存在する。 （Aが1である場合を除いて、この場合は0になりますので）
3. すべての自然数は、順序が存在する。自然数AとBは、次の3つの場合のいずれかです。 AがBよりも大きい。 AとBが同じである。 AがBよりも小さい。
4. すべての自然数は、加算の順序が関係ない。 （交換法則）
5. すべての自然数は、乗算する順序が関係ない。 （交換法則）
6. すべての自然数の計算では、すべてプラスである場合、括弧の位置は関係ない。 （結合法則）
7. すべての自然数の計算では、すべての乗算である場合、括弧の位置は関係ない。 （結合法則）
8. 両方の自然数を足すと必ず自然数になる（閉じた状態の性質）
9. 両方の自然数の積を計算すれば必ず自然数になる（閉じた状態の性質）

そして、計算式で加算と乗算が一緒に出てくる場合もございますので、計算の順序についての規定が必要です。以下のとおりです。優先順位が高い順に書かせていただきました。

1. 無条件括弧内の数字を先に計算する。
2. 指数がある場合、指数の計算を先にして、残りの順に計算する。
3. 括弧がない場合でも、加算と減算より乗算と除算を先に計算する。
4. 優先順位が同じ数の場合、左から右の順に計算する。

簡単な問題を一つ解いてみよう

時給5000円のアルバイトをしたときの最初の週に20時間仕事をした。そして、第二週に24時間仕事をすると私が得るお金はいくらなのか計算してみよう

5000 X 20 + 5000 X 24=220000

22万ウォンを儲けるようになりますね。この公式を見ると、共通点がありますね。時給が共通している部分なのに...これにより、総労働時間を先に計算して、その後に時給を掛けると良いです。

5000 X（20 + 24）=220000

このように書くことができます。これを分配法則といいます。逆に使用しても可能です。

A X（B + C）=（A X B）+（A X C）= A X B + A X C

上記の式が成立します。

次に、「台数」を利用して、偶数と奇数の足し算の性質を証明してみよう。

自然数をNとし、その結果の値をSと規定します。

すべての偶数は、

S=2 X N

と書くことができます。

すべての奇数は、

S=（2 X N）+1

と書くことがあるんです。

偶数と奇数を加えてみましょう。両方の偶数は、異なる数字だから一つはMだそうですよ。

S =（2 X N）+（2 X M）

S = 2 X（N+ M）

ここで（閉じた状態の性質）によると、（M+ N）も自然数がお勧めです。その後、Sは自然数になるでしょう。

他の偶数と奇数の足し算の性質も、これらの方法で確認してください。

このような証明は数学者ではない以上する必要がないが、このような論理的な考え方は、ゲーム開発において重要であり、繰り返しになります。

キャラクターのいずれかを作成して、それがゲームの世界で飛び降りすることは、このような論理的な問題を絶え間なく解決していく過程ですからね。

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Number of law

Mathematics during which to live is important enough to be required in all areas.
You can, depending on their profession, have a impact small or greatly.

In particular, during the development of the game, mathematics is that it is very important.
There is no part that does not require a mathematics across game design, program, and graphics, in all areas of game development.

I think When all the work, have know-how or not, there is a big difference.
If repeat doing work, even if you don't have know-how, finally you will be person what have know-how.

But it will be very slow than people what have know-how.


So, for those of you who want to develop the game, try to write a sentence re-organize the basic theory of mathematics.

Even if you are not a game developer. I think that knowledge necessary for the game development can help you in design sense, psychology, communication skills and logical thinking.

Actually, even if make simple game, requires a lot of knowledge than above.

So, let's look back about a few fundamental laws first.

All math and science are starting from the doubt that is something all take for granted, and will re-generalize it. 

Let's consider briefly. Is '2 + 2' and '3 + 2' same?? 

Course. 
When add, order is not important. We called it the 'commutative law'.

Write some of the laws of natural mathematics in this way following. 

Even + even = even 
Odd + odd = even 
Even + odd = odd 
Odd + even = odd 

It is like following.
When Add the same numeral, unconditionally Even is comes out. When adds different numeral, unconditionally odd comes out. 
We will prove this later.

Let's look case of multiplication. 

5 + 5 + 5 = 15

I have three times add 5. Let write by using the multiplication formula.

5 X 3 = 15

It can be used in this way.
It means that three times add 5.
The results will be different, depending on whether how many add 5.


If so, what happens when I write it with the character without numeral?

5 X A =?

The result '?' is same that and add 'A' time 5.

This concept, because used in mathematics of all, you must understand certainly.

You may use other character instead of 'A', However, there are characters that are most commonly used. It is like a kind of promise. 

t (Time), r (Radius), w (Width), h (Height), n and (Number) etc. 

We called it "Algebra".

Let look at the numbers we use in real life. 

1, 2, 3, 4 ......(can continue.) 

This is called the "countable number" or "natural number". 


If write by using the "Algebra". 

N = N +1 

Can write like this.

Number N of any, means that N plus 1. The number N, it means the number one greater than themselves always. 

Nature of the natural number is as follow.

1. A natural number of all, 'A' have 'A'+1 at next.
2. A natural number of all, 'A' have 'A'-1 at previous. (Except when A is 1, it will be in this case 0)
3. A natural number of all, the order exists. Natural number A and B can be one of the following three cases. A is greater than B. A and B are the same. A is less than B. 
4. A natural number of all, does not matter the order of addition. (Commutative law)
5. A natural number of all, does not matter the order in which to multiply. (Commutative law)
6. In the calculation of all natural numbers. When plus is, no matter the position of the round bracket. (Associative law) 
7. In the calculation of all natural numbers. When multiplication is, no matter the position of the round bracket. (Associative law)
8. It is to be natural number whenever you add a natural number of both. (The nature of the closed state) 
9. It is to be natural number whenever you multiply a natural number of both. (The nature of the closed state)

And, We must need order, Because case of add and multiplication comes out together in the formula. Is as follows. I was allowed to write to a high precedence.

1. I calculate first the numeral of unconditional parentheses.
2. If there are indices, calculate first index, is calculated in the order of the rest.
3. Even in the absence of parentheses, I calculate multiplication and division than addition and subtraction.
4. If the same number of priority, calculate from left to right.

Let solve one simple problem.

When hourly wage is $5,000, was for 20 hours work in the first week. And was for 24 hours work in the second week. Let calculate the money I get.

5000 X 20 + 5000 X 24 = 220000

It will now earn 220,000 won. If you look at this formula, it has in common. It is part of hourly pay are common. Calculated total working hours, and thereafter it is preferable to apply the hourly rate.

5000 X (20 + 24) = 220000

You can write like this. We called it 'distributive law'. It is possible to be used in reverse.

A X (B + C) = (A X B) + (A X C) = A X B + A X C

So, The above equation is satisfied.

Then, by using the "Algebra", let's prove the nature of addition of even and odd.

The N is the natural number, and S defined as the value of the result.

All Even,

S = 2 X N

You can write like above.

All Odd,

S = (2 X N) +1

I have a be written as above.

Let adding even and odd. Even of both is different. So, one even number is called 'M'.

S = (2 X N) + (2 X M)

S = 2 X (N + M)

Here, according to the nature of the closed state, (M + N) is also nature number. Then, S will be a natural number too.

Please make sure these methods about other natural numeral.

If you are not a mathematician, have not need like this. But logical thinking like this is important in game development. It will be repeat during develop.
In the game world, make a character and make to walk, that is the process going to solve logical problems like this.

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수의 법칙

살아가는 동안, 수학은 모든 분야에서 필요로 할 만큼 중요하죠.
자신의 직업에 따라서 작게 또는 크게 영향을 줄 수 있어요.

특히, 게임 개발에서 수학은 굉장히 중요한 것이에요.
게임 디자인, 프로그램, 그래픽 등등 게임 개발의 모든 분야에 걸쳐 수학이 필요하지 않은 부분이 없답니다.

모든 일을 할때 알고 하는 것과 모르고 하는것은 큰 차이가 있다고 생각해요.
모르고 하는 일이라고 해도 반복적으로 계속하게 되면 결국은 그 원리와 방법을 알게 되겠지만 이미 알고 시작하는 사람보다 더 오랜 시간이 걸리겠죠.

그래서 게임 개발을 하고자 하는 분들을 위해 수학의 기본 이론을 되짚어 보고자 글을 쓰게 되었어요.

게임 개발자가 아니더라도 게임 개발에 필요한 지식들을 배우고 활용하는 것은 논리적 사고와 수리 능력이 향상되며 디자인 감각, 심리학, 사람과 사람간의 이해 관계 향상 등등 많은 부분에서 도움이 될 것이라고 생각해요.

실제로 단순한 게임 하나를 만들더라도 위에 나열한 모든 부분과 그 이외의 많은 지식들을 요구되거든요.

그러면 첫번째로 수의 기본 법칙들에 대해서 되짚어 볼께요.

모든 과학과 수학은 당연하다고 생각하는 것들을 의심하는 데서 출발하고 그것을 다시 일반화 시키는 것에 있어요.

간단하게 생각해서 3+2와 2+3은 같은것일까요?

당연히 같겠죠.
덧셈을 할때는 순서가 중요하지 않죠. 이것을 교환법칙이라고 해요.

이렇게 당연한 수학 법칙들을 몇개 써보자면,

짝수 + 짝수 = 짝수
홀수 + 홀수 = 짝수
짝수 + 홀수 = 홀수 
홀수 + 짝수 = 홀수

이런것들이 있겠네요.
같은 수를 더하면 무조건 짝수가 나오고 다른 수를 더하면 무조건 홀수가 나온다.
나중에 이것을 증명해 보일께요.

곱셈을 살펴볼까요.

5 + 5 + 5 = 15

5를 세번 더했네요. 이것을 곱하기를 이용해서 써본다면

5 X 3 = 15

이렇게 쓸수 있겠네요. 
다시 말해서 5를 세번 더한다라는 뜻이 되는거죠.
5를 몇번 더하느냐에 따라서 결과가 달라지겠네요.

그러면 이 몇번 더한다라는 개념을 숫자를 쓰지 말고 문자를 쓰면 어떻게 될까요?

5 X A = ?

5를 A번 더한 값이 ?가 되겠죠. 
이 개념은 앞으로 모든 수학에서 사용되기 때문에 반드시 알아야 해요.

A 대신에 다른 문자를 사용해도 무방해요. 다만 일반적으로 많이들 쓰는 문자들이 있는데 일종의 무언의 약속 같은 것들이죠.

t(Time), r(Radius), w(Width), h(Height), n(Number) 등등이 있어요.

이런것들을 '대수'라고 한답니다.

우리가 실생활에서 사용하는 숫자들을 나열해보면

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .......(끝없이 계속 가겠네요)

이런 숫자들을 자연수 또는 가산수라고 합니다. 

이것을 대수를 이용해서 써본다면 

N = N + 1 

이렇게 쓸 수 있겠네요

어떤 숫자 N은 N 더하기 1이라는 뜻이죠. 숫자 N은 언제나 자신보다 1 큰 숫자가 된다라는 뜻이겠네요.

자연수에 대한 성질은 다음과 같아요.

1. 모든 자연수 A는 그 다음 수 A + 1이 존재한다.
2. 모든 자연수 A는 그 전 수 A - 1이 존재한다.(A가 1인 경우엔 제외, 이 경우엔 0이 되므로)
3. 모든 자연수에는 순서가 존재한다. 자연수 A와 B는 다음 세가지 경우중 하나이다. A가 B보다 크던가, A와 B가 같든가, A가 B보다 작든가.
4. 모든 자연수는 더하는 순서가 상관없다.(교환법칙)
5. 모든 자연수는 곱하는 순서가 상관없다.(교환법칙)
6. 모든 자연수의 계산식에서 모두 더하기일때 괄호의 위치는 상관없다.(결합법칙)
7. 모든 자연수의 계산식에서 모두 곱하기일때 괄호의 위치는 상관없다.(결합법칙)
8. 두 자연수를 더하면 언제나 자연수가 된다(닫힘성질)
9. 두 자연수를 곱하면 언제나 자연수가 된다(닫힘성질)

그리고 계산식에서는 더하기와 곱하기가 같이 나오는 경우도 있기때문에 계산 순서에 대한 규정이 필요해요. 아래와 같아요. 우선도가 높은 순서대로 쓸께요.

1. 무조건 괄호 안의 숫자를 먼저 계산한다.
2. 지수가 있을 경우는 지수부터 계산하고 나서 나머지 순서대로 계산한다.
3. 괄호가 없을 경우에도 더하기와 빼기 보다 곱하기와 나누기를 먼저 계산한다.
4. 우선도가 같은 수일 경우 왼쪽에서 오른쪽 순서대로 계산한다.

간단한 문제를 하나 풀어볼께요

시간당 5000원짜리 아르바이트를 할때 첫번째 주에는 20시간 일했고 두번째 주에는 24시간 일을 했다고 한다면 내가 받을 돈은 얼마인지 계산해볼께요

5000 X 20 + 5000 X 24 = 220000

22만원을 벌게 되는군요. 이 계산식을 보니까 공통된 점이 있네요. 5000이 공통되는 부분인데... 그러면 총 일한 시간을 먼저 계산하고 거기다가 시급을 곱해줘도 되겠네요. 

5000 X (20 + 24) = 220000

이렇게요. 이것을 분배법칙이라고 해요. 거꾸로 써도 가능하죠.

A X (B + C) = (A X B) + (A X C) = A X B + A X C

위의 계산식이 성립되는 것이죠.

그러면 '대수'를 이용해서 짝수와 홀수의 덧셈의 성질을 증명해 볼께요.

자연수를 N이라고 하고 결과값을 S라고 정하고요.

모든 짝수는 

S = 2 X N

이라고 쓸 수 있겠죠.

모든 홀수는 

S = (2 X N) + 1

이라고 쓸수 있구요. 

짝수와 짝수를 더해볼께요. 두 짝수는 서로 다른 수일테니까 하나는 M이라고 할께요.

S = (2 X N) + (2 X M)

S = 2 X (N + M)

여기서 닫힘성질에 따르면 (M + N) 역시 자연수가 되겠죠. 그러면 S는 자연수가 되겠네요.

다른 수들도 이와 같은 방법으로 확인 해보세요.

이런 증명은 수학자가 아닌 이상 할 필요가 없겠지만, 이런 논리적인 사고방식은 게임 개발에 있어서 중요하고 반복적으로 하게 됩니다.

캐릭터 하나를 만들고 그것이 게임 세계에서 뛰어다니게 하는 것은 이런 논리적인 문제를 끊임 없이 풀어 나가는 과정이니까요.

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